Supersymmetrie als mathematisches Designsignal

Dirac und die Antimaterie

Unabhängig davon ob man Zahlen (nicht ihr Formalismus, die Ziffern) als menschliche Erfindungen ansieht, oder als etwas, was Menschen nur als Abstraktion von gegebenen Verhältnissen (Anzahl von materiellen Objekten) gefunden haben, weil Zahlen an sich den grundlegenden Bauplan der Natur bilden, so kann man diese analysieren.

So zeichnet sich die 9 aus, weil sie eine Ganzzahl als Wurzelausdruck besitzt. Jedoch scheint das nur künstlich konstruiert zu sein, denn die gefundnen/erfundenen Rechenoperationen liefern scheinbar unnötigen Ballast, denn es ist nicht nur 3*3 = 9, sondern auch (-3) * (-3) = 9.

Quadratzahlen kann man sich in der Berechnung von Grundstückflächen sehr gut vorstellen, jedoch fragt man sich unweigerlich, was denn ein 9 Quadratkilometer großes Grundstück sein soll, das aus negativen Seitenlängen etwa (-3) * (-3) = 9 gebildet wird?

So betrachtet haben wir wieder einmal eine der typischen Modellfehlkonstruktionen. Wirklich? Ähnlich erging es Paul Dirac der bei seiner Formulierung der Vereinigung von spezieller Relativitätstheorie und Quantenmechanik physikalisch bis dato nicht sinnvolle Lösungen erhielt. Neben den bekannten Teilcheneigenschaften gab es auch solche, die bei der Ladung ein umgekehrtes Vorzeichen besaßen (bei gleicher Masse). In unserem Bild also negative Seitenlängen. Nur gut, dass Paul Dirac 1928 seine Theorie dennoch verteidigte. Er hatte ein sehr großes Vertrauen in die Mathematik und meinte, dass es für diese Lösungen auch eine sinnvolle Entsprechung in der Natur geben muss. Sonst, so seine Überlegung, würde die Mathematik diese Lösungen einfach nicht anbieten.

Dirac kam zu dem Schluss, dass es zur bekannten Materie eben auch eine Art von Anti-Materie geben müsste. Selbstverständlich wurde dies als pure Spekulation von den Physikern damals abgelehnt. Doch glücklicherweise dauerte es in diesem Fall nicht lange, dass Anti-Materie mit dem angegebenen Vorzeichenwechsel bei der Ladung gefunden werden konnte, was Dirac den Nobelpreis einbrachte.

Doch nicht immer hat man soviel Glück, dass eine rein mathematische Vorhersage eine schnelle Bestätigung findet. Das hängt auch vom Gegenstand der Betrachtung ab.

Sind wir aber wie Dirac der Meinung, dass Lösungen, die uns die Mathematik in einem entsprechend konsistenten Rahmen anbietet, auch Entsprechungen in der Natur haben sollten, eben weil wir von der Mathematik als Fundament der Welt, von einer inneren Logik des Aufbaus, ausgehen, dann können wir entsprechende Erwartungshaltungen formulieren und gelassen den Messungen zukünftiger Forscher entgegensehen.


Vervollständigung der physikalischen Symmetrien als Designsignal

In der Physik betrachtet man unter anderem Raum-Zeit-Symmetrien. Darunter versteht man die Koordinatenunabhängigkeit bezüglich grundlegender Bewegungen. So darf keine gleichförmige Bewegung zu einer beschleunigten Bewegung werden, nur weil wir eine Änderung des Referenzsystems, in dem wir die Bewegung beschreiben, vornehmen.

Man unterscheidet in diesem Sinne drei Raum – Zeit – Symmetrien:

- Verschiebung des räumlichen Koordinatenursprungs: Wenn ich das Koordinatensystem um einen Betrag delta verschiebe, dann ändert sich nichts an den Naturgesetzen.

- Drehung des räumlichen Koordinatensystems: Eine Drehung des Koordinatensystems um den Ursprung mit einen Winkel alpha ändert auch nichts an den Naturgesetzen.

- Verschiebung des Nullpunkts der Zeitachse: Eigentlich, wenn wir mit Minkowski von der Einheit von Raum und Zeit in einer Raumzeit ausgehen, ist dieser Punkt schon in der Verschiebung des Koordinatenursprungs enthalten, wenn wir raumzeitliche Koordinaten betrachten. Es soll aber hier noch einmal verdeutlicht werden, dass eine Änderung der Zeitachse keine Auswirkung haben dürfen. Wenn ich meine Uhrzeit umstelle, dann ändere ich natürlich nicht meine Naturgesetze. Ich habe nur eine neue Uhrzeit.


Gibt es noch mehr Symmetrien? Ja! Neben diesen äußeren Symmetrien gibt es noch die inneren Symmetrien der Teilchenwelt {1}. Im Jahre 1967 wurde bewiesen, dass die äußeren und inneren Symmetrien nie gemischt seien {2}. Doch dieser Beweis galt nur unter bestimmten Voraussetzungen und es zeigte sich, dass diese Voraussetzung zu speziell war {3}.

Bei Berechnungen zur Stringtheorie, wenn man statt Punktteilchen nun Teilchen mit eindimensionaler Ausdehnung verwendet, entdeckte 1971 Pierre Ramond die rein mathematische Möglichkeit einer weiteren Symmetrie {4}, die später so genannte Supersymmetrie, die aber bislang nicht experimentell beobachtet wurde. Es stellte sich heraus, dass diese Supersymmetrie auch auf Punktteilchen anwendbar war {5}, wenn auch nicht mit der gleichen Notwendigkeit wie bei der Stringtheorie {6}.

Wenn wir der Mathematik genauso vertrauen, wie Dirac dies tat, dann neigt man zu der Annahme, dass es aus Gründen der mathematischen Vollständigkeit eben auch diese noch ausstehende Symmetrie in der Natur geben muss. In der Konsequenz bedeutet das nichts weniger als ein Kriterium zur Falsifizierung des Prinzips, dass die Natur einem mathematischen Design unterliegt.

Max Tegmark bezeichnet ein solches Design als mathematisches Universum, das als abstrakte Struktur unabhängig vom Menschen (oder anderer außerirdischer Intelligenz) existiert:

I explore physics implications of the External Reality Hypothesis (ERH) that there exists an external physical reality completely independent of us humans. I argue that with a sufficiently broad definition of mathematics, it implies the Mathematical Universe Hypothesis (MUH) that our physical world is an abstract mathematical structure. I discuss various implications of the ERH and MUH, ranging from standard physics topics like symmetries, irreducible representations, units, free parameters, randomness and initial conditions to broader issues like consciousness, parallel universes and Gödel incompleteness. I hypothesize that only computable and decidable (in Gödel’s sense) structures exist, which alleviates the cosmological measure problem and may help explain why our physical laws appear so simple. [1]

Sind alle mathematisch möglichen Lösungen im genannten konsistenten Rahmen der MUH, so auch bei den Symmetrien, verwirklicht, dann haben wir es mit einem mathematischen Designsignal zu tun. Ist diese mögliche Symmetrie nicht Bestandteil der Natur, dann wäre dieses Universum mathematisch unvollständig, wir können dann nicht von einem mathematischem Design {7} des Universums sprechen, sondern müssen uns mit einem Flickenteppich aus realisierten und nicht realisierten Teillösungen begnügen, was immer man daraus auch philosophisch schließen möchte.


Drehimpuls und Spin

Schauen wir uns die Grundlagen dieser Supersymmetrie genauer an. Im quantenmechanischen Rahmen gibt es bezogen auf die Teilchen Symmetrieeigenschaften. Es gibt Symmetrie bezüglich von Translation in Raum und Zeit und auch bei Rotation. Hier müssen wir aber Drehimpuls und Spin unterscheiden.

Stellen wir uns den Drehimpuls mittels eines Pfeils parallel zur Rotationsachse vor. Die Ausrichtung der Pfeilspitze wählen wir so, dass von ihrem Ende aus gesehen das Objekt entgegen dem Uhrzeigersinn rotiert. Die Länge des Pfeils zeigt den Betrag des Drehimpulses an, der zur Drehgeschwindigkeit des Objektes und seines Trägheitsmomentes proportional ist. Der Drehimpuls eines rotierenden klassischen Objektes (zum Beispiel eines Planeten) bleibt ohne einwirkende Drehkräfte unverändert.

Wir geben nun eine beliebige Richtung im Raum vor und erhalten so die senkrechte Projektion des Drehimpulspfeils auf diese Raumrichtung. Wir erhalten einen kürzeren oder gleichlangen Komponentenpfeil, der entgegen oder in der vorgegebenen Raumrichtung zeigen kann. Diese Komponente erhält ein negatives Vorzeichen, wenn der Pfeil entgegen der vorgegebenen Richtung ausgerichtet ist. Nennen wir die Länge des Drehimpulspfeils L und die Länge der Drehimpulskomponente K inklusive Vorzeichen, so kann K kontinuierlich alle Werte zwischen -L und L annehmen, je nach gewählter Raumrichtung. Die Drehimpulskomponente ist dann am größten, wenn die vorgegebene Richtung mit der Richtung des Drehimpulspfeils übereinstimmt (K = L) oder entgegengesetzt ausgerichtet ist (K = -L).

Gehen wir genauso bei einem Elektron vor, so erleben wir eine Überraschung. Statt kontinuierlicher Werte zwischen -L und L messen wir für die Komponente nur zwei Werte, entweder den Wert L oder –L. Dabei hat L den Wert ½ {8}. Das Elektron besitzt somit den Spin ½. Generell lässt sich feststellen, dass die maximale Spinkomponente eines jeden Teilchens ein ganzes Vielfaches von ½ beträgt, kurz: n/2 mit n als eine positive ganze Zahl einschließlich Null.

Damit sind aber nun auch Spin-Werte möglich, wie 0 (bei n=0) oder 1 (bei n=2) oder aber auch 3/2 (bei n=3) usw {9}.


Supersymmetrie

Es gibt also vom Spin her betrachtet zwei große Teilchensorten. Solche mit ganzzahligem Spin (0, 1, 2, …) und solche mit halbzahligem Spin (1/2, 3/2, 5/2, …). Diese Unterscheidung ist so wichtig, dass man eigene Namen diesen beiden Teilchensorten gab. Die Teilchen mit ganzzahligem Spin nennt man Bosonen {10} und den Teilchen mit halbzahligem Spin Fermionen {10}.

Bosonen treten in der Natur als Wechselwirkungsteilchen auf. Sie übertragen eine Kraft. Die Lichtteilchen – Photonen – zum Beispiel haben den Spin 1 und die – noch nicht direkt nachgewiesenen – Gravitonen als Träger der Gravitationskraft haben den Spin 2.

Hingegen bilden Fermionen die Materieteilchen. So haben wir im Beispiel des Elektrons schon gesehen, dass es den Spin ½ besitzt. Dies gilt auch für die Quarks, auch sie haben den Spin ½. Aus den Quarks bestehen wiederum die bekannten Protonen und Neutronen.

Warum die Natur diese Zweiteilung von Materie- und Wechselwirkungsteilchen vornimmt, blieb ein Mysterium. Die Supersymmetrie zeigt nun, dass jedem Boson ein Fermion zugeordnet ist und umgekehrt. Zwischen Bosonen und Fermionen besteht also eine Symmetrie. Wechselwirkungsteilchen und Materieteilchen sind somit zwei Seiten einer Medaille.

Das Bild der Medaille veranschaulicht uns auch sehr schön, warum in diesem Zusammenhang bestehende Symmetriebrüche in der Physik unschädlich sind. Bei physikalischen Symmetrien kommt es darauf an, dass man zeigt, dass zwei verschiedene Seiten - hier Bosonen und Fermionen - zu einer Medaille gehören.

Selbstverständlich müssen die sogenannten Superpartner der bestehenden Elementarteilchen um einiges mehr Masse besitzen, weil man sie ja sonst schon gesehen hätte. Diese Asymmetrie bezüglich der Massen tut aber der Supersymmetrie der Fermionen - Bosonen - Verbindung keinen Abbruch. Die beiden Seiten der einen Medaille dürfen, um im Bild zu bleiben, unterschiedliche Prägungen tragen und auch aus unterschiedlichen Materialien bestehen. Die physikalische Symmetrie besteht darin, dass sie zu der einen Medaille gehören {11}.Zumindest bezüglich der Symmetrie erscheint die Natur mit der Supersymmetrie als wie aus einem Guss {12} mathematisch designt.


Vertiefende Anmerkungen

{1} Diese sind mit den inneren Eigenschaften der Elementarteilchen verknüpft. So gibt es Gruppen von Teilchen (Nukleon, Pion, Kaon, …) mit jeweils fast gleicher Masse aber verschiedener elektrischer Ladung. Dieser Massenentartung liegt die Isospin - Symmetrie der Gruppe SU(2) zugrunde. Eben weil Hadronen aus Quarks zusammengesetzt sind. Wir müssen den Isospin der Quarks berücksichtigen.

{2} Das Coleman – Mandula Theorem. Beispielsweise tragen die in {1} genannten Quarks nun so genannte Farbladungen („rot“, „grün“, „blau“), die sich zu „weiß“ addieren. Es gibt nun keine Abhängigkeit von etwa Farbladung und der Drehrichtung des Hadrons.

{3} Gemeint ist die Voraussetzung, dass innere wie auch die Raum-Zeit-Symmetrie durch eine Lie Gruppe darstellbar sind. Die Raum-Zeit-Symmetrien (als Poincaregruppe) und die Eichsymmetrien genügen dieser Anforderung. Nun gibt es aber verschiedene Lie Gruppen, die dieselbe Lie Algerba haben. Somit ist in der Quantentheorie weniger die Lie Gruppe sondern die Lie Algebra entscheidend. Kurz: Man darf die ursprüngliche Voraussetzung fallen lassen, in dem man neben den antisymmetrischen Kommutatoren nun auch symmetrische Antikommutatoren zulässt. Die Poincaregruppe wird somit erweitert und damit auch die Raum-Zeit-Symmetrie. Diese Erweiterung ist eine mathematisch mögliche Symmetrie der Quantentheorie.

{4} Tatsächlich ging man der Frage nach, ob man nicht gleich noch weitere mögliche Symmetrien übersehen hatte. Aber es ist diesbezüglich bewiesen, dass es keine weitere Symmetrie der Quantentheorie geben kann. Die Supersymmetrie würde die Symmetrien der Quantenmechanik abschließend vervollständigen.

{5} Dabei handelt es sich um das bahnbrechende Modell von Wess und Zumino aus dem Jahre 1973.

{6} Das Standardmodell mit seinen Punktteilchen kommt auch ohne die Supersymmetrie aus, sie verbietet diese aber nicht. Hingegen würde die Superstringtheorie sofort falsifiziert, wenn man beweisen könnte, dass die Supersymmetrie auf Teilchenebene nicht in der Natur vorkommt. Genau darum geht es bei den Messungen am LHC vom CERN. Die Stringtheorie war bis 1971 zwar ein interessantes Modell, doch hatte es den Schönheitsfehler, dass man die eindimensionalen Fadenteilchen nur auf Bosonen anwenden konnte. Erst die Berechnungen von Ramond 1971 zeigten, dass sie auch für Fermionen über die Verknüpfung mit den Bosonen durch eine mögliche Supersymmetrie gelten kann. Die Supersymmetrie wurde daher erstmals durch Berechnungen im Rahmen der Stringtheorie als physikalische Möglichkeit erkannt. Für die Stringtheorie ist sie eine physikalische Notwendigkeit.

{7} Wie auch auf meiner Blog-Seite im Untertitel zu sehen präferiere ich stets den Begriff des mathematischen Designsignals. Ob man sich ein mathematisches Design nur als Ausdruck einer persönlichen Intelligenz vorstellen kann oder doch andere Ursachen bevorzugt, hängt wohl von der philosophischen Prägung ab. Mathematisches Design ist eine unabhängige Abstraktionsstufe. Somit kann man mich fachlich in erster Linie als Anhänger der MUH – Mathematical Universe Hypothesis – (s.[1]) betrachten. Dennoch will ich nicht verhehlen, dass ich persönlich den Ursprung des mathematischen Designs stets als von einem Logos kommend betrachte (Evangelium nach Johannes, Kapitel 1 Vers 1).

{8} Das Plancksche Wirkungsquantum als Faktor mit der doppelten Kreiszahl pi lässt man weg, um es nicht immer mitschreiben zu müssen. Der exakte Wert wäre eigentlich ½*(h/(2 pi)).

{9} Die Messwerte können auch negative Werte annehmen, was ja mit der Ausrichtung des Drehimpulspfeils zusammenhängt.

{10} Bosonen sind nach indischen Physiker Satyendra Nath Bose benannt. Fermionen sind nach dem italienischen Physiker Enrico Fermi benannt.

{11} Gleiches gilt auch bezüglich der CP-Verletzung, die ja nur für die schwache Wechselwirkung gilt. Für die starke wie auch für die elektrische ist die Symmetrie vollständig verwirklicht. In der kombinierten CPT-Symmetrie gilt sie sogar auch für die schwache Wechselwirkung. Was die mathematischen Gleichungen im konsistenten Rahmen (siehe [1]) zulassen, ist verwirklicht. Das gilt für die Symmetrien, wie auch für ihre partiellen Verletzungen.

{12} Interessant ist, dass erst durch die Supersymmetrie auch eine exakte Vereinigung von starker und schwacher Kernkraft mit der elektromagnetischen Kraft möglich wird.


Weiterführende Literatur

[1] The Mathemtical Universe, Max Tegmark, 2007, arXiv:0704.0646v1.pdf

[2] Memoirs of an early string theorist, P. Ramond, 2007, arXiv:0708.3656v1.pdf

[3] An Introduction to Supersymmetry, J. Lykken, 1996, hep-ph/9612114